题意分析

在最近新出了一款放置类游戏，名为《点击英雄》。游戏中用玩家可以消耗金币去升级英雄，击败怪物，获取更多的金币。英雄最开始的等级为0，不提供任何伤害，当玩家对英雄进行升级后，英雄获得等级x初始伤害的秒伤。英雄每一次升级花费的金币时前一次升级的1.07倍(下取整)。现在对于给定的英雄列表(当前均为0级)，和玩家持有的金币数量M，我们想知道怎样分配金币去升级英雄，可以使得所有英雄的总秒伤之和达到最大。

算法分析

本题为一道典型的泛化物品背包问题。泛化物品是背包问题的一个变种，要明白它，我们首先来回忆一下背包问题。

01背包问题

给定 n 个物品，每个物品具有c[i]的体积和w[i]的价值。

我们现在有一个大小为 V 的背包，每个物品要么放进背包，要么不放进背包。

问如何放置可以使得背包内的物品价值总最大，且总体积不超过 V 。

一个暴力的算法是枚举每一件物品是否在包内，总共有 2^n 种不同的组合方案。检查每一种方案是否合法以及计算其价值需要花费 O(n) 的时间。所以该算法总时间复杂度为 O(2^n*n) 。

显然暴力算法是不可行的。

通过对原问题的分析，我们得到一个结论：放置一个物品时，并不会对之前的放置结果产生影响。

由此得到一个递推公式，假设f[i][v]表示放置前i件物品，且总体积为v时的最优价值，则有：

f[i][v] = max{f[i - 1][v], f[i - 1][ v - c[i] ] + w[i]} (v ≥ c[i])

若从f[i - 1][v]转移，则表示不将第i件物品放入背包；若从f[i - 1][ v - c[i] ] + w[i]转移，则表示将第i件物品放入背包。

其代码：

for i = 1 .. n
    for v = 0 .. V
        f[i][v] = max(f[i - 1][v], f[i - 1][ v - c[i] ] + w[i])

边界条件为f[0][0..V] = 0，最后的答案为max{f[n][0..V]}。

对于01背包问题，其算法时间复杂度为 O(nV) 。

分组背包问题

给定 n 个物品，每个物品具有c[i]的体积和w[i]的价值。

我们现在有一个大小为 V 的背包，每个物品要么放进背包，要么不放进背包。

此外，我们将这 n 个物品分为了 k 组，每一组至多只能有一个物品在背包中。

比如物品i和物品j同属于一个分组，那么物品i和物品j不能同时放入背包，即使背包能够同时装下它们。

问如何放置可以使得背包内的物品价值最大，且体积不超过 V 。

此时放置物品的限制变成了要么选择一组中的一件，要么一件都不放置。

我们简单的对原来的数组进行改进，f[i][v]表示放置前i组物品，且总体积为v时的最优价值。显然，仍然有：

f[i][v] = max{f[i - 1][v], f[i - 1][ v - c[i] ] + w[i]} (v ≥ 0)

但跟原来方程不同的是，此处的c[i]和w[i]不再是单个物品i的价值。而其对应的含义为，在第i组物品中选取一个体积为c[i]的物品，其对应的价值为w[i]。因此我们需要枚举我们选取的是哪一个物品，所以该式子改变为：

f[i][v] = max{f[i - 1][v], f[i - 1][ v - c[t] ] + w[t]} (v ≥ c[t] && t ∈ group[i])

代码为：

for i = 1 .. k
    for v = 0 .. V
        f[i][v] = max(f[i][v], f[i - 1][v]);    // 假设不放置第i组的物品
        for t in group[i]
            f[i][v] = max(f[i][v], f[i - 1][ v - c[t] ] + w[t]);

同样的，边界条件为f[0][0..V] = 0，最后的答案为max{f[k][0..V]}。

对于分组背包问题，其算法时间复杂度仍然为 O(nV) 。

泛化物品背包问题

给定 n 个物品，每个物品可以任意改变其体积c[i]。当物品i的体积为c[i]时，产生的价值为f_i(c[i])。

我们现在有一个大小为 V 的背包，每个物品要么放进背包，要么不放进背包。

问如何放置可以使得背包内的物品价值最大，且体积不超过 V 。

泛化物品背包问题本质就是分组背包问题。

每个物品根据体积不同，对应的价值不同。这里的一个物品实际等价与一组物品，而该组物品包含的物品数量为无穷多，且刚好满足体积从0到无穷。

即对应任意一个 c 都可以从该组中找到体积为 c 的物品。

所以我们可以得到递推公式：

f[i][v] = max{f[i - 1][v], f[i - 1][ v - c ] + f_i(c)} (c = 0..v)

代码为：

for i = 1 .. n
    for v = 0 .. V
        f[i][v] = max(f[i][v], f[i - 1][v]);    // 假设不放置第i组的物品
        for c = 0 .. v
            f[i][v] = max(f[i][v], f[i - 1][ v - c ] + f_i(c));    

同样的，边界条件还是为f[0][0..V] = 0，最后的答案为max{f[n][0..V]}。

对于泛化物品背包问题，其算法时间复杂度为 O(nV^2) 。

到此再回过头来看看我们的题目，其如何转化为一个泛化物品背包问题呢？

• n : n 个不同的英雄
• V : 我们持有的金币数量
• c : 英雄升级所消耗的费用
• w : 英雄所产生的DPS

在以上4个基础变量的基础上，我们还需要增加一个：

• lvl : 英雄选择提升的等级

那么我们可以得到：

• c[ lvl ] : 英雄等级为lvl时所消耗的金币数量
• w[ lvl ] : 英雄等级为lvl时所产生的DPS

进一步得到我们的递推方程：

f[i][v] = max{f[i - 1][v], f[i - 1][ v - c[ lvl ] ] + w[ lvl ]} (lvl = 0,1,2... && v ≥ c[ lvl ])

代码为：

for i = 1 .. n
    for v = 0 .. V
        f[i][v] = max(f[i][v], f[i - 1][v]);    // 假设不升级第i个英雄
        for lvl = 1 .. MAX_POSSIBLE_LVL
            if (v >= c[ lvl ]) 
                f[i][v] = max(f[i][v], f[i - 1][ v - c[ lvl ] ] + w[ lvl ]); 

当然，我们需要预处理出每一个英雄的c[ lvl ]和w[ lvl ]数组。

至此我们还需要担心一个问题：lvl最大可能的取值为多少？

假设存在一个英雄其从0级升级到1级所需要的金币为1，则他最多可能升级的次数是：

log(20000) / log(1.07) = 146.37430359503807837404969001237

因此 lvl 最大的可能取值为146。

但由于 n 的范围很小，这样的数据范围是可以接受的。

结果分析

该题在本次比赛中通过率只有8%。

可能是因为选手在平时的练习中没有遇到过这一类扩展背包问题，也没能在现场想出如何求解的算法。

背包问题在动态规划问题中算是经典问题，因此在这里推荐一篇讲解背包问题的文章，希望能够帮助大家。