题意分析
给定正整数 N, M,将 N 分解为若干个正整数 A1, A2, ..., Ak,使得:
- 0 < A1 < A2 < ... < Ak
- A1 + A2 + ... + Ak = N
- A1 * A2 * ... * Ak MOD M = 0
求一共有多少种不同的分解方案。
算法分析
暴力的求解方法由于本题给定的 N, M 均很小,因此我们先考虑如何暴力求解,直接用递归来对答案进行搜索:
DFS(N,M,Last,Sum,Mul)
If (Sum == N)
If (Mul MOD M == 0) Then
Return 1
Else
Return 0
End
Else
Cnt = 0
For i = Last + 1 .. N - Sum // A_i > A_i-1
Cnt = Cnt + DFS(N, M, i, Sum + i, Mul * i)
End For
Return Cnt
End If
Sum
表示已经分解出的数之和,Mul
表示已经分解出的数之积,Last
表示最后一个分解出的数的值。
由于本题的数据范围为 N ≤ 100, 而 1 + 2 + .. + 14 > 100,最大迭代层数为14,所以暴力搜索的方法也能够通过。
然而本题还有一个非常巧妙的定理,让我们一起来探究一下吧。
在上面的算法中,我们总是在已经枚举出整个方案后,再对Mul
是否能够整除 M 进行判定。那么是否能够在计算的过程中就进行判定呢?
假如Mul
能够整除 M,则有 gcd(Mul, M) = M
(gcd(A,B)
表示 A,B 的最大公约数)。
在不断迭代的过程中,gcd(Mul, M)
会怎样变化呢?
假设某一时刻gcd(Mul, M)
= K,则有Mul
= _P * K_, _M = Q * K_,其中 P 与 Q 互质。
当我们新分解出一个数 L ,有:
gcd(Mul*L, M)
= gcd(P * K * L, Q * K)
= K * gcd(P * L, Q)
≥ K
由于 P 与 Q 互质,所以我们可以得到gcd(P * L, Q)
= gcd(L, Q)
。
因此有
gcd(Mul*L, M)
= K * gcd(P * L, Q)
= K * gcd(L, Q)
= gcd(K * L, K * Q)
= gcd(K * L, M)
可以证明在迭代过程中gcd(Mul, M)
是递增的,并且我们可以根据gcd(Mul,M)
能够计算出gcd(Mul*L,M)
。所以我们不再需要保存Mul
,只需要记录gcd(Mul, M)
即可。
因此我们将DFS可以改进为:
DFS(N,M,Last,Sum,Gcd)
If (Sum == N)
If (Gcd == M) Then
Return 1
Else
Return 0
End
Else
Cnt = 0
For i = Last + 1 .. N - Sum
Cnt = Cnt + DFS(N, M, i, Sum + i, gcd(Gcd * i, M))
End For
Return Cnt
End If
Gcd
表示当前分解数之积与 M 的最大公约数,gcd(A,B)
为求解 A,B 最大公约数的函数。
这样的改进并不能减少我们的时间复杂度,但是我们可以发现相对于DFS(N,M,Last,Sum,Mul)
,DFS(N,M,Last,Sum,Gcd)
中会出现的重复状态变多了。
在DFS(N,M,Last,Sum,Mul)
和DFS(N,M,Last,Sum,Gcd)
中,Last
和Sum
的值都在 0 .. N 范围内,而Mul
的范围很大,Gcd
的范围只在 0 .. M。
所以我们可以使用记忆化搜索来进行优化,减少重复的计算:
DFS(N,M,Last,Sum,Gcd)
If (f[Sum][Last][Gcd] == -1) Then
If (Sum == N)
If (Gcd == M) Then
f[Sum][Last][Gcd] = 1
Else
f[Sum][Last][Gcd] = 0
End
Else
Cnt = 0
For i = Last + 1 .. N - Sum
Cnt = Cnt + DFS(N, M, i, Sum + i, gcd(Gcd * i, M))
End For
f[Sum][Last][Gcd] = Cnt
End If
End If
Return f[Sum][Last][Gcd]
f[Sum][Last][Gcd]
初始化全为-1。
此外在计算过程中,我们总是要计算gcd(Gcd * l, M)
,而Gcd * l
的范围在 0 .. 5000,因此我们可以用一个数组gcd[i]
预处理出所有的gcd(i,M)
。
由于f的每一个状态只会计算一次,因此总的时间复杂度为_O(N^3*M)_,也就能够通过所有的数据。
记忆化搜索在很多时候是可以转变为动态规划的,这道题也不例外。
根据上面记忆化搜索的程序,我们可以得到一个动态规划的解法:
f[Sum + i][i][ gcd(Gcd * i, M) ] = f[Sum + i][i][ gcd(Gcd * i, M) ] + f[Sum][Last][Gcd];
在已经知道f[Sum][Last][Gcd]
方案数的情况下,我们枚举下一个数i
来进行递推。
初始化f数组为0,则可以得到其解法代码为:
f[0][0][1] = 1;
for (i = 0; i < N; i++)
for (j = 0; j < N; j++)
for (k = 1; k <= M; k++)
if (f[i][j][k] > 0)
for (l = j + 1; l <= N - i; l++)
f[i + l][l][gcd[l * k]] = (f[i + l][l][gcd[l * k]] + f[i][j][k]) % 1000000007;
k = 0;
for (i = 1; i <= N; i++)
k = (k + f[N][i][M]) % 1000000007;
本题主要的难点在于对于Gcd(Mul, M)
的推导,然而出题人给出的数据范围太小,而使得不使用这一性质也能通过该题。
若将题目中条件从 0 < A1 < A2 < ... < Ak 改为 0 < A1 ≤ A2 ≤ ... ≤ Ak,此题的难度会提升很多,有兴趣的读者可以试一试求解。
为何不是从1开始~