《数组分拆》题目分析

这道题是一道DP题。首先我们比较容易能想到一个O(N^2)的DP。

我们用f[i]表示将A1 ~ Ai拆分成若干段使得每段和都不为0的方案数。考虑拆出的最后一段是A[j+1] ... Ai，有转移方程：

f[0] = 1

f[i] = Σf[j] | j = 0 .. i-1 且 A[j+1] .. Ai的和不为0。 

其中“A[j+1] .. Ai的和不为0”可以利用前缀和做到O(1)的判断。所以上述的DP是O(N)状态和O(N)的转移，总复杂度是O(N^2)的。

下面我们介绍如何将转移优化为O(1)的。如果我们令前缀和s[i] = f[0] + f[1] + ... f[i]，那么显然上述转移方程直观上是：

f[i] 等于 f[0] .. f[i-1] 中若干项的和。具体是哪些项呢？ 是那些满足s[j] != s[i]的f[j]。

于是我们可以换一种方法计算f[i]：先加上f[0] .. f[i-1]，再减去那些满足s[j] == s[i]的f[j]：

f[i] = (Σf[j] | j = 0 .. i-1) - (Σf[j] | j = 0 .. i-1 且 s[i] == s[j])  

其中f[0] + f[1] + f[2] + .. + f[i-1]就是s[i-1]可以直接O(1)得到。

而第二部分“满足s[j] == s[i]的f[j]之和”我们可以用一个哈希表( unordered_map) h来记录，h[x]表示满足前缀和s[j]==x的f[j]之和。

h随着新的f[i]计算出来会更新，更新和查找的复杂度都是O(1)的。

于是我们就得到了转移O(1)的DP，总复杂度是O(N)的。